.-------[MinDKinD100\#100.07]------- ---- - -------. [M]ind[K]ind #100
| | - 24/08/2003
| . * le chaos (pour illaitr�s) | - h3
| aka '------------- ----.
| "OMG the world is float!" |
| _____ . |
'------------------------[ again, again n again.]---- ----------------'
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by h3 at mindkind dot org
[ P R � L U D E ]
Imaginez que les choses les plus complexes qui compose notre univers
ob�issent � des algorythmes simples, mais it�r�s � l'infinis g�n�rant des
syst�mes compl�xes et apparament al�atoire ? Depuis longtemps les scientifiques
avaient une notion du chaos, du "random", mais maintenant ils sont conscient
que ce chaos contient un certaint ordre et on d�vlopper des m�thodes pour
le mesurer et l'illustr�. Les premi�res recherches �clair�es sur ce sujet ne
datent pas d'hier, en fait personne sait qui exactement � d�couvert ce principe
, mais l'un des premier � l'avoir r�ellement observ� est Edward Lorenz en 1960
Sur un ordinosaure (un Royal McBee qui ressemblait plus � un tas de tubes �
vide et de fils qu'un ordinateur) il simulait la m�t�o sur sa bombe avec ses 60
op�rations seconde. c'est en 1961 en voulant simul� une m�t�o virtuelle sur
sont ordinateur qu'il vis pour la premiere fois le chaos, il entras des donn�s
m�t�o r�el comme point de d�part et d�merra sont application. Apres avoir �t�
cherch� du caf� pour s'�chapper du bruit de sont ordinosaure, il eu une
surprise, le graphique trac� par sont ordinateur ne correspondait pas � la
r�alit�, en fait, au d�but du graph les lignes se suivait de pr�s, mais plus le
graph avancait dans le temps plus la simulation virtuel se d�tachait de la
ligne repr�sentant la m�t�o r�el en pr�sentant des courbes de plus en plus
chaotique pour enfin n'avoir plus rien � voir avec la m�t�o r�el. Selon ses
calculs les 2 courbes auraient du se suivre, c'est un peu comme si un enfant de
1ere ann�e s'amuse avec sa calculatrice et assaye 2+2 et sa donne 4, alors il
assaye 4+4 et s'attend a 8 mais rencontre 9. Apr�s r�flexion il r�alisat que ce
n'�tait pas sont ordinateur le probl�me, mais sa pr�cision. Sont royal mcbee
calculait des nombres � 6 chiffres (1.234567) mais pour des raisons d'�conomies
de papier il arrondissait � la 3ieme d�cimal (1.234) ce qui, pensat-il, ne
donnerait pas de diff�rence notable sur le produit final, mais vus que le
processus de calcul est it�r� pratiquement ind�finiment, la petite erreur qui
s'est lentement gliss� au d�but est rapidement devenu une grosse qui prenait
une ampleur exponentiel et erratique, n'importe quel math�maticien ou physicien
aurait vu la une bizzarerie, quelque chose sans interrets r�el qui n'� pas ce
sens ni de solutions, mais Lorenz, un m�t�orologue y vit le chaos pour la
premi�re fois. La seconde grande d�couverte de Lorenz fut de trouver un moyen
de repr�senter graphiquement l'ordre dans le d�sordre avec un graphique
cart�sien � 3 dimensions appeler "Attracteur de Lorenz", avec un op�ration non-
lin�aire simple iterr� a l'infinis il obtenait des nombres � virgule "random",
ces nombres n'avaient aucune suite logique et ne semblait avoir aucune
correlation, aucun moyen de dire qu'il provenait de la m�me op�ration..
pourtant, en utilisant cette op�ration pour trouv� des points sur un graphique
cart�sien � 3 dimensions, formait, au grand� �tonnement de Lorenz, une boucle
infinie clairement d�finie et qui semblait ob�ire � une trajectoire tr�s
d�terministe, m�me si aucun point ne se touchait, ni se r�petait. Il avait
d�couvert l'ordre du d�sordre, les lois qui r�gissent le fondement du chaos,
ces m�me lois qui allaient dans les ann�es 80 d�finir les syst�mes dynamiques
(pas le genre de choses qui nous montre dans les �coles, � vrai dire les
notions que nous apprenons a l'�cole date tout simplement de l'antiquit�).
C'est bien beaux d'avoir trouv� un moyen de visualis� le chaos, mais
quoi peux servir de une telle notion ? Aussi inutile que sa puisse para�te,
c'est une notion qui aide � comprendre les comportements �rratique et � les
immiter. Les deux exemples pratique les plus simples que j'ai trouver sont la
poussi�re de cantor et.. la formation de flocons de neige.
La poussi�re de cantor
En T�l�communication le bruit est un ph�nom�ne bien connus, ce sont de
petites intermitances dans le signal qui � premi�re vue sont totalement
chaotique, elle brouille le signal et rend difficile de d�codage de
l'information. Formuler une op�ration math�matique lin�aire qui �limine ce
bruit est totalement impossible, de plus un tel code se composerait de millier
de lignes de codes. avec la th�orie du chaos, une simple opration comme
x>> = x-(x/3) r�soud le probl�me de bruit a n'importe quelle �chelle. pour
figurer la poussi�re de cantor (chaos.jpg, fig. 1) prennez une ligne droite,
divisez la en 3. Ensuite enlev� la section du milieux. Puis avec les 2 lignes
droite qui reste, r�petez l'op�ration, jamais vous n'atteignerez la valeur 0,
les valeurs restante sont appelez "poussi�re de cantor", cette m�thode permet
de calcul� avec pr�cision, peu importe l'�chelle de temps, l'arriv� d'erreurs �
premi�re vus chaotique dans les lignes �lectriques ou les circuits
�lectroniques.. magique :0
POUSSI�RE DE CANTOR
(voir chaos.jpg fig. 1)
000000000000000000000000000
000000000000000000000000000
000000000 000000000
000000000 000000000
000 000 000 000
000 000 000 000
0 0 0 0
0 0 0 0
Pour ceux qui ont encore aucune id�e de ce don je parle, je vais
y'aller avec une approche plus g�om�trique. Si vous regardez la figure 2 de
chaos.jpg, vous pouvez voir un triangle �quilat�rale noir, puis au tier de sa
longueur j'ai ajout� un triangle du tier de sa grosseur et ainsi de suite,
j'aurais pu continuer a l'infinis, trac� un cercle autour du triangle initial
et l'air total de la figure final ne d�passerait pas celle du rond qui borde
les pointe du triangle initial. Les flocons de neige sont form�s � partir d'un
algorythme semblable, ajout� la d�pendence sensitive � l'�tat initial et les
interf�rences, et vous avez une multitudes de flocons tous diff�rents les un
des autres, mais tous semblable.. comme dans la nature :)
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Un autre domaine d�laiss� par les science que la th�orie du chaos |
viendrait illumin�, est la turbulence des fluides. Avec des op�rations |
lin�aires, les super ordinateura n'arrivaient pas simul� la turbulence des |
fluides a long therme. A vrai dire, ces m�mes super ordinateurs �tait |
incapable de suivre la turbulences de fuildes plus de quelques secondes et ce :
dans un centimetre cube de liquide "virtuel". Pourquoi ? Parce que la ;
r�action des fluides est totalement impr�visible, en r�alit�, il est ,
r�visible, mais pas dans sa totalit�. Si l'on verse un liquide dans un autre ;
liquide, on peu s'attendre a ce que le liquide vers�, par la gravit� se
retrouve dans le fond du contenant, puis remonte en cr�ant un remous (qui est ,
en r�alit� 2 tourbillons invers�s), mais au fur et a mesure que l'on augmente .
le d�bit, les tourbillions acc�l�rent, ils peuvent changer de direction
spontan�ment avec une impr�dictibilit� implacable, pour finalement atteindre un
point critique ou il sont "brouill�s". Ce processus est un casse t�te pour les
math�maticiens, et jusqu'aux 20ieme siecle, �tait consid�r� comme �tant du
domaine �sot�rique, purement �ratique. Mais les plus grand penseurs n'on pas pus
se r�soudre � un simple d�sordre inexpliquer, ils savaient que deri�re se
comportement al�atoire se cachait une structure bien organis�e. En fait, une
chose plus que tout autre cachait la structure du chaos � l'�tre humain; le
bruit (noise). Comme je l'ai mention�, le chaos est compos� d'une op�ration
simple r�p�t�e � l'infinis, par contre, ses op�rations n�cicittes des variables
pour pouvoir changer de leur �tat initial, ces variables sont en r�alit� des
perturbateurs ext�rieurs au ph�nom�ne observ�, exemple; pour l'eau, un
perturbateur pourrait etre la chaleur d'un deuxi�me liquide vers� dans un
premier, ou une vibration alt�rant le tourbillons d'un liquide. La ou les
math�maticiens et autres scientifiques on "gl�", c'est que malgr� les
perturbations ext�rieurs, le liquide gardait, jusqu'� un certain point de
rupture, un comportement qui tendait a suivre sont �tat initial (cette tendence
� suivre un comportement est appeler attracteur �trange, ils sont partout autour
de nous, tout le monde � les capacit� de les voir ou les trouver). Si pour une
exp�rience, l'�tat initial d'un liquide est un tourbillon, on lui inflige de
petite vibrations, le tourbillons se brouillras probablement l�g�rement, puis
quand les vibrations seront interrompues, l'eau recommencera a tourbillonn�
comme � sont �tat initial, mais en d�croissant si l'effet de tourbillon n'est
pas maintenue artificiellement, pour finalement retourn� � sont r�el �tat
initial, qui �tait l'inertie. Le ph�nom�ne en tant que tel semble simple �
premi�re vue, mais sont comportement toutefois est impossible �
calcul� lin�airement, et sa � agac� les math�maticiens depuis que les
math�matique existe. Puis un jours quelques jeunes exentriques d�nigr�s pour
leur projets "hors normes" sont arriv�s avec la solution du chaos. Mais comment
l'appliquer � la turbulence des fluides ? de la m�me fa�on que le reste. Un
scientifique isola une goute d'helium liquide dans une petite capsule d'aci�
inoxidable pour limit� les turbulences possible � l'int�rieur. Puis en l'isolant
dans un bain d'azote liquide il r�ussit � l'isol� des vibrations du monde
ext�rieur, puis en r�chauffant un peut le dessous de sa capsule il cr�a un
tourbillion pratiquement sans "bruit" ce qui lui permit de d�cortiqu� les
�quations math�matique de base qui r�gissait les mouvement de l'eau, par la
suite il n'avait plusqu'� les iterr� � l'infinis pour avoir le comportement de
l'eau. Par contre, cette �quation vous donnerais le mouvement de l'eau sur une
planete absente de gravit�, ou il fait 251 degr� celsius et qui n'aurait aucune
vibration. Donc pour avoir un comportement r�aliste vous prenez ses �quations,
les iterr�s, mais en tenant compte des variables externes, ces variables
externes engendre le chaos dans l'�quation simple de la vie, mais la structure
principale de l'�quation reste, donnant un semblant d'ordre dans le d�sordre,
parfoit imperceptible � l'oeuil humain. Ce qu'il y'� de bien avec la th�orie du
chaos, c'est que contrairemnt au op�rations lin�aire, il n'est pas obligatoire
de poss�d� toute les variables d'un comportements, par exemple, vous pourriez
faire un graphique a partir de donn� basique, comme l'op�ration � iterr�, et une
seule ou 2 variable suffirait pour observ� des comportements �rratique soumis a
des variables externes, bien sur elle ne donne pas l'exactitude de l'infinis, ce
qui serait impensable, mais elle donne le "range" de possibilit�s soumis � une
ou plusieurs variables, les graphiques qui en r�sultes sont �tudi� sous forme de
fractales.
J'ai trouver sur le net une macro de program 3d qui sert a reproduire
l'attracteur de lorenz en 3d sur PovRay, c'est pas un language connus mais sa
donne une id�e de la simplicit� de la chose, ce code donne des coordonn�es
cart�sienne avec pr�cision sans jamais donn� 2 fois la m�me coordonn� tout
en restant dans un "range" sp�cific (l'attracteur), sa peu paraitre inutile,
mais dans une m�thode d'encryptation lourde sa prendrais tout son sens.
//PovRay 3.5 macro by Marcus Fritzsch
// N = number iterations
// h, a, b, c: initial parameters
// x0, y0, z0: start-location
// rad = radius of the spheres that trace the attractor
#macro lorenz(h, a, b, c, x0, y0, z0, N, rad)
// use it like:
// lorenz(0.001099, 10, 28, 8/3, 0.0001, 0.0001, 0.0001, 350000, 0.04)
#local i = 0;
union {
#while (i < N)
#local x0 = x0 + h * a * (y0 - x0);
#local y0 = y0 + h * (x0 * (b - z0) - y0);
#local z0 = z0 + h * (x0 * y0 - c * z0);
#if (i > 100)
sphere {
, rad
pigment { color rgb }
}
#end
#local i = i + 1;
#end
}
#end
//le algorythme en C
C source
��������
#include "stdio.h"
#include "stdlib.h"
#include "math.h"
#define N 10000
int main(int argc,char **argv)
{
int i=0;
double x0,y0,z0,x1,y1,z1;
double h = 0.01;
double a = 10.0;
double b = 28.0;
double c = 8.0 / 3.0;
x0 = 0.1;
y0 = 0;
z0 = 0;
for (i=0;i 100)
printf("%d %g %g %g\n",i,x0,y0,z0);
}
}
vous pouvez visualiser les r�sultat de ces code ici:
- http://astronomy.swin.edu.au/~pbourke/fractals/lorenz/
- http://www.sat.t.u-tokyo.ac.jp/~hideyuki/java/Attract.html
c'est ass� impressionnant :) Vous pouvez m�me jouer en temps r�el avec
l'atracteur de lorenz, vous po uvez regarder l'attracteur se former de lui
m�me ou jouer avec en simulan du bruit, qui pertube sa course, comme n'importe
quelle bruit perturbant un systeme dynamique, enlevez se bruit et le systeme
tente naturellement a retrouver son parcours initial. Un applet java le simule
� cette adresse:
- http://bloch.ciens.ucv.ve/~felix/Java/NonLinear/Lorenz/
- http://www.expm.t.u-tokyo.ac.jp/~kanamaru/Chaos/e/Lorenz/Lorenz.html
version flash:
- http://gozz.com/portfolio/lorenz_attractor/
pour les programmeurs C qui veulent s'amuser un peux :p
- http://www.gweep.net/~rocko/sufficiency/node25.html
pis les real hardcore qui veulent se mont� un systeme �lectronique analogique
pour vision� l'attracteur dans sa perfection imparfaite;
- http://frank.harvard.edu/~paulh/misc/lorenz.htm
pis imaginez ceux qui sont encore plus leet pis qui on d�couvert une corr�lation
dans ces suites de chiffres avec comme seul aide un bout de papier ou le premier
mod� de calculatrice portable;
- http://www.math.uu.se/~warwick/main/rodes/ResultFile
maintenant vous pouvez m�me le faire runn� sur palmOS :p
- http://www.micoks.net/~dbennett/la.html
[ T H I N K E R S ]
La raison pour laquel que les m�rites d'avoir d�couvert le chaos �tait
difficillement attribuable est que plusieurs g�nies de notre �poques l'on vus ou
entre vu. Peut on sus le reconnaitre, mais dans plusieurs pays � travers le
monde, dans plusieurs domaines, certains l'on explor�;
poincar�
Khun
James Yorke
1960 Benoit Mandelbrot
D�partement de recherche pure IBM
Un espece de crink qui a vus l'ordre dans le d�sordre
� travers la premi�re calculatrice portable de HP, une
brette qui pouvait prendre plus d'une minute pour
r�soudre une op�ration complexe .. eh criss de motiv� :p
premier article sur le chaos:
flot non-p�riodique d�terministe
(Deterministic Nonperdiodic Flow)
139 vol. 20 Journal of the Atmospheric Sciences
1961 Edward Lorenz - Californie, USA.
MIT Massachusetts Institute of Technology
Lorenz voit le chaos dans un graphique
m�t�orologique.
1963 Puis il d�couvre le premier attracteur �trange,
qu'il appelra l'attracteur de lorenz (eh.)
1974 Mitchel Feigenbaum - Los alamos, Nouveau Mexique.
Division T (Th�orique)
L'un des pionnier de la th�orie du chaos, il
�tablie les principales r�gles qui r�gissent
le chaos alors qu'il travaillait pour les usa
1977 Robert Stetson Shaw - Santa-Cruz, USA.
Stephen Smale - Californie, USA.
Universit� de Berkeley
biensur la liste des pionnier du chaos est loin d'etre exaustive mais,
les domaines touch� sont si nombreux que souvent, plusieurs chercheurs on
travailler des ann�es en marge des soci�t� scientifique, parce que leur id�es
�tait consid�r� comme �sot�rique, et pr�s 30 ans se sont �couler avant que les
experts des diverses domaines puissent se rencontrer et �changer leur id�es sur
le sujet, qui lit le Journal of the Atmospheric Sciences ?
Fait amusant:
Vers la fin des ann�es 70, sur le campus de l'universit� de
santa cruz, Robert Stetson Shaw s'amusait avec un autre
aurdinosaure qui repr�sentait un impasse dans le d�vloppement
technologique. Le systron-donner �tait un ordinateur
analogique, pour programmer il fallait carr�ment cr�er du
hardware qui simulait les op�rations et le brancher dans le
systron-donner, donc il programmait avec du hardware, mais
�tant analogique, l'ordinateur �tait approximatif et beaucoup
moin pr�cis que les ordinateur bas� sur le syst�me binaire et
les r�sultats de simples �quations lin�aire �taient souvent
al�atoires, ses calculs �tant bas� sur des oscillations au
lieux de 1 et 0. Mais dans la recherche du chaos cette
in�xactitude remplacea le facteur "random" de la nature et
lui permit de vision� une boucle qui se r�petait a l'infinis
parfaitement sans jamais pass� par le meme poin x\y\z, et ce
� l'aide d'une simple op�ration non-lin�aire que l'on appel
"attracteur de lorenz".
[ C O N C L U S I O N ]
En conclusion, la th�orie vulgaris� peux vous sembl� de peux d'utilit�
ou simplement un "fait" amusant de la nature ou des math, mais en fait, cette
th�orie est la th�orie de l'universalit� que tout le monde attendait, elle
permettra surment un formidable bon en avant dans le domaine des biotechnologie,
de l'informatique et surement de la nanotechnologie, les applications sont
r�ellement infinies, d'ailleur la raison qui ma pouss� a lire se livre est que
je cherchais � d�vlopper une technique de templating universelle en php avec un
model OO, et je ne regrette pas du tout de l'avoir lus. La nature � encore
r�ussit a nous surprendre, � nous montr� que nos connaissances nous rendent
ignorant, la preuve; j'y ai m�me trouver la r�ponse de la complexit� des femmes!
Selon la th�orie du chaos, des syst�mes simples engendres des comportements
compliqu�s et des syst�mes compliqu�s engendre un comportement simple. ET VOILA!
Pour finir sur une note un peu plus s�rieuse, je vous laisse quelques
sites que j'ai googl� � propos du chaos, si le sujet vous interresse je vous
invite � faire pareil, les domaines ou peut s'extrapoler le chaos sont ass�
surprenants quelque fois.
site interressant sur le chaos:
Attracteur de Lorenz
- http://www.wam.umd.edu/~petersd/lorenzfast.html (en mouvement)
- http://archive.ncsa.uiuc.edu/SCMS/DigLib/stills/0892.hobill.lg.gif
Chaos work group at Univ. of Maryland
- www-chaos.umd.edu
- http://www-chaos.umd.edu/Spheres_Photos/spheres_photo.html
The Mandelbrot and Julia Sets: A Toolkit of Dynamics Activities
- http://math.bu.edu/DYSYS/explorer/index.html
Livre � lire absolument (cet article en est un r�sum� tr�s sommaire) :
- Gleick: La th�orie du chaos; vers une nouvelle science.
�ditions Champs Flammarion
[ P R O L O G U E ]
La lecture du livre de Gleick m'� fais sourrir plus d'une fois, car en
plus de donn� une notion de base bien expliqu� de la th�orie du chaos, il
explique comment les experts on fait leur d�couvertes, donc tout le long du
livre on entend parler d'ordinateurs. On peu difficillement s'imagin� ce qu'un
g�nie comme Lorenz qui travaillait sur un ordinateur qui fesait 60 calculs
seconde trouvrait � faire sur un dual pentium 4 3GHZ. Plus le livre avance dans
l'histoire, plus la technologie de l'informatique avance aussi, quand des
informaticiens ce m�lent � la partie sa devient vraiment int�rressant; James
Crutchfield, un jeune californien qui fesait du skateboard, dans le livre on le
d�cris comme ceci; "Crutchfield appartenait � la premi�re g�n�ration de
math�maticiens pour qui la logique des microprocesseurs �tait un langage
naturel." Un autre qui m'� fait rire; "Farmer se fit une sp�cialit� du piratage
des temps de calcul. Un �t� il fut invit� au National Center for Atmospheric
Research � Boulder dans le Colorado, o� d'�normes ordinateurs effectuaient des
recherches sur des sujets tels que la simulation globale du temps, et ses
capacit�s � siphonner du temps couteux sur ces machines stup�fi�rent les
climatologues". Bref, si vous n'�te pas un fan des anecdotes historique lisez
plutot un livre ax� sur les syst�mes dynamique, qui sera surement plus de la
th�orie pure.
